Théorie des singularités et géométrie algébrique réelle et complexe.

Approximabilité équisingulaire des singularités analytiques réelles et complexes

Je m’intéresse à la question de savoir si les singularités analytiques analytiques réelles et complexes peuvent être approximées par des singularités algébriques d’une manière qui préserve les propriétés essentielles liées à la résolution des singularités. J’ai montré qu’une singularité analytique réelle ou complexe arbitraire peut être approchée jusqu’à un degré arbitraire par des singularités algébriques qui ont la même fonction de Hilbert-Samuel et préservent d’autres propriétés algébro-géométriques intéressantes comme le type de Cohen-Macaulay et la classe d’équivalence sous les homéomorphismes locaux. La fonction de Hilbert-Samuel est une mesure de singularité et est utilisée dans la résolution des singularités. Actuellement, j’essaie de montrer si une telle approximation peut être trouvée qui préserve ces propriétés dans une tour de résolution donnée.

Publications:

  1. A. Patel. Algebraic approximation of Cohen-Macaulay algebras. J. Algebra 625: 66-81, 2023.

  2. A. Patel. Finite determinacy and approximation of flat maps. Proc. Amer. Math. Soc., 151(1):201–213, 2023.

  3. J. Adamus, A. Patel. Equisingular algebraic approximation of real and complex analytic germs. J. Singul. 20:289-310, 2020.

Fonctions rationnelles localement bornées et fonctions rationnelles continues sur des domaines singuliers.

Les fonctions rationnelles continues sur les variétés algébriques réelles singulières ont diverses propriétés intéressantes. En particulier, une fonction rationnelle continue définie sur un ensemble algébrique réel singulier peut devenir non-rationnelle lorsqu’elle est restreinte à une sous-variété contenue dans le lieu singulier. Il existe un lien naturel entre cette classe de fonctions et la classe des fonctions rationnelles localement bornées, car toute fonction rationnelle continue sur une variété algébrique réelle singulière peut être étendue à une fonction rationnelle localement bornée sur l’espace ambiant. Le comportement des fonctions rationnelles localement bornées sur les variétés algébriques réelles singulières est actuellement un domaine de recherche ouvert qui a le potentiel de révéler des resultats très intéressants.


L’algèbre linéaire numérique appliquée

Le Préconditionnement parallèle pour les méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires grands et épars

Je travaille sur le développement d’algorithmes parallèles et asynchrones pour la construction de préconditionneurs pour les méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires de grande taille et épars. Étant donné que nous sommes à l’ère du calcul à l’échelle exa où les supercalculateurs modernes ont des milliers de cœurs, le besoin d’algorithmes parallèles pour le préconditionnement des méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires grands et épars est devenu plus urgent, car ces algorithmes constituent le cœur des progiciels de résolution de problèmes issus de nombreux domaines d’application. L’un des défis posés par le développement de tels algorithmes pour les supercalculateurs modernes est le coût de la communication et de la synchronisation. C’est la principale motivation de mon intérêt pour les algorithmes parallèles asynchrones et évitant la communication pour le préconditionnement.

Publications:

  1. E. Chow, A. Patel. Fine-grained parallel incomplete LU factorization. SIAM journal on Scientific Computing 37.2: C169–C193, 2015.

  2. A. Patel, E. Boman, S. Rajamanickam, E. Chow. Cross Platform Fine Grained ILU and ILDL Factorizations Using Kokkos. Center for Computing Research Summer Proceedings (2015), A.M. Bradley and M.L. Parks, eds., Technical Report SAND2016-0830R, Sandia National Laboratories, pp. 159-177, 2015

Applications du calcul à haute performance au calcul scientifique

Je m’intéresse également à l’application du calcul à haute performance au calcul scientifique et aux problèmes découlant des domaines d’application. L’un de mes précédents projets (à Georgia Tech) concernait la parallélisation de la méthode Hartree-Fock de la chimie quantum. L’accent était mis sur développement d’un algorithme parallèle et d’une implémentation pour la mémoire distribuée destinée aux grands superordinateurs.

Publications:

  1. X. Liu, A. Patel, and E. Chow. A new scalable parallel algorithm for Fock matrix construction. IEEE 28th international parallel and distributed processing symposium (IPDPS), 2014.